(FGV - 1976) Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos $\;A=(1,2)\;$, $\;B=(2,-2)\;$ e $\;C=(4,3)\;$, a equação da reta que passa por $\;A\;$ pelo ponto médio do segmento $\;\overline{BC}\;$ é:
(EPUSP - 1968) Se o conjunto dos pontos que satisfazem a equação $\;x^2 + y^2 + 2axy = 0\;$ é a reunião de duas retas, então: a) $a = 0$ b) $0 < |a| <1$ c) $|a|=1$ d) $|a|>1$ e) nenhuma das anteriores
(CESCEM - 1976) O ponto $(a, -b)$ pertence ao interior do 2º quadrante. Os pontos $(-a,b)$ e $(-a,-b)$ pertencem, respectivamente, aos quadrantes: a) 3º e 1º b) 3º e 4º c) 4º e 3º d) 4º e 1º e) 1º e 3º
(E. E. LINS - 1968) Dados os vértices $\;P(1,1)\,$, $\;Q(3,-4)\,$ e $\;R(-5,2)\,$ de um triângulo, o comprimento da mediana que tem extremidade no vértice $\;Q\;$ é:
(CESCEA - 1968) Dado o segmento $\;\overline{AB}\;$ de extremidades $\;A \equiv (-4,1)\;$ e $\;B \equiv (5,7)\;$ as coordenadas do ponto $\;C\;$ que divide na razão $\;\dfrac{\overline{AC}}{\overline{CB}} = 4\;$ são:
(CESCEA - 1972) Uma das diagonais de um quadrado tem extremidades $\;A\,\equiv\,(1,1)\;$ e $\;C\,\equiv\,(3,3)\;$. As coordenadas dos outros dois vértices do quadrado são:
(CESCEA - 1968) Sejam A, B e C números reais quaisquer. Dada a equação $\;Ax + By + C = 0\,$, assinale dentre as afirmações abaixo a correta:
a) se $A \ne 0$ e $B \ne 0$ então $Ax + By + C = 0$ é a equação de uma reta pela origem b) se $B \ne 0$ e $C=0$ então $Ax + By + C = 0$ é a equação de uma reta pela origem, não paralela a nenhum dos eixos c) Se $A = 0$ e $C \ne 0$ então $Ax + By + C = 0$ é a equação de uma reta paralela ao eixo $0x$ d) se $A \ne 0$, $B = 0$ e $C = 0$ então $Ax + By + C = 0$ é a equação do eixo $0y$ e) se $A = 0$, $B \ne 0$ e $C = 0$ então $Ax + By + C = 0$ é a equação do eixo $0y$
(CESCEA - 1972) A equação da reta que passa pelo ponto $\;A\,\equiv \,(2,\,5)\;$ e que corta a reta de equação $\;y\,=\,-x\,+\,1\;$ num ponto $\;B\;$, tal que $\;AB\,=\,3\sqrt{2}\;$, é:
(FGV - 1976) Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos $\;A=(1,\,2)\,$, $\;B=(2,\,-2)\,$ e $\;C=(4,\,3)\,$, a equação da reta que passa por $\;A\;$ pelo ponto médio do segmento $\,\overline{BC}\,$ é:
(ITA - 2004) Sejam os pontos $\phantom{X} A: \; (2;\, 0)\, $, $\;B:\;(4;\, 0)\;$ e $\;P:\;(3;\, 5 + 2\sqrt{2})\,$.
a)
Determine a equação da cirunferência $\;C\;$, cujo centro está situado no primeiro quadrante, passa pelos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$ e é tangente ao eixo $\;y\;$.
b)
Determine as equações das retas tangentes à circunferência $\;C\;$ que passam pelo ponto $\;P\;$.
resposta:
Resolução:
a)
Seja $\; O \; $ o centro da circunferência $\;C\;$ no primeiro quadrante. Na figura, $\;C\;$ passa pelos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$, tangenciando o eixo $\;y\;$. $\;O\;$ possui coordenadas (3,m) e $\;\overline{OA}\;$ é raio da circunferência, portanto $\;\overline{OA}\;$ mede 3. $\;(\overline{OA})^2 = (3 - 2)^2 + (m - 0)^2 \; \Rightarrow \;$ $\; \sqrt{1 + m^2} = 3 \;\Rightarrow \;$ $\; m^2 = 8 \; \Rightarrow \; m = 2\sqrt{2}$. O ponto $\;\; O \;\;$, centro da circunferência $\;C\;$, tem coordenadas $\;(3, 2\sqrt{2})\;$, e
a equação da circunferência é $\;\boxed{\;(x - 3)^2 + (y - 2\sqrt{2})^2 = 9\;} $
b)
A equação do feixe de retas não verticais concorrentes em $\;P\;$, e coeficiente angular $\;a\;$ : $\; y - (5 + 2\sqrt{2})\;=\;$ $\;a(x - 3) \; \Rightarrow \; ax - y + 5 + 2 \sqrt{2} - 3a = 0\;$. A reta vertical que contém $\;P(3,\;5 + 2\sqrt{2})\;$ corta a circunferência $\;C\;$ em 2 pontos. A distância entre as tangentes e o centro $\;O (3;\; 2\sqrt{2})\;$ é igual a 3, ou seja:
As equações das tangentes são: $\;\boxed{\; y\,-\,(5\,+\,2\sqrt{2})\,=\,\dfrac{4}{3}(x\,-\,3)}\;$ e $\;\boxed{\; y\,-\,(5\,+\,2\sqrt{2})\,=\, -\, \dfrac{4}{3}(x - 3)}\;$
Dar as coordenadas das projeções dos pontos A(2 ; -3) , B(3 ; -1) , C(-5 ; 1) , D(-3 ; -2) , E(-5 ; -1) , sobre os eixos cartesianos.
resposta:
Resolução: Para um ponto $\;P(x;y)\;$, vamos chamar de $\;P_x\;$ e $\;P_y\;$ as projeções do ponto $\,P\,$ respectivamente sobre o eixo das abscissas (x) e sobre o eixo das ordenadas (y).
Determinar em que quadrante pode estar situado o ponto P(x , y) se:
a)
$\,xy \, >\, 0\,$
b)
$\,xy \, < \, 0\,$
c)
$\,x\,-\,y\,=\,0\,$
d)
$\,x\,+\,y\,=\,0\,$
resposta: Resolução:
a)
se $\,xy \, > \, 0\;$ então teremos as duas possibilidades: 1ª. possibilidade: x > 0 e y > 0 ⇒ P(x,y) ∈ 1º QUADRANTE 2ª. possibilidade: x < 0 e y < 0 ⇒ P(x,y) ∈ 3º QUADRANTE
b)
se $\,xy \, < \, 0\;$ então teremos as duas possibilidades: 1ª. possibilidade: x > 0 e y < 0 ⇒ P(x,y) ∈ 4º QUADRANTE 2ª. possibilidade: x < 0 e y > 0 ⇒ P(x,y) ∈ 2º QUADRANTE
c)
se x - y = 0 ⇒ x = y ⇒ $ \left\{\begin{array}{rcr} P(x\, ,\,y) \in \,1º\;\text{QUADRANTE} \phantom{XX}\text{ou}& \\ P(x\,,\,y) \in \,3º\;\text{QUADRANTE} \phantom{XXX}& \\ \end{array} \right.$
(MACKENZIE) Os pontos A (0 , 0) e B (1 , 0) são vértices de um triângulo equilátero ABC , situado no $\;1^{\underline{o}}\,$ QUADRANTE. O vértice C é dado por:
(CESCEM) O triângulo $\,ABC\,$ tem vértices $\,A\,(0\,;\,0)\,,\;B\,({\large \frac{3}{5}}\,;{\large\frac{3}{5}})\;$ e $\;C\,({\large -\frac{3}{5}};{\large \frac{3}{5}})\;$. A equação da reta que passa por $\;A\;$ e pelo ponto médio de $\,\overline{BC}\;$ é:
Qual a equação geral da reta em que:$\,\left\{\begin{array}{rcr} x\,=\,{\large \frac{t\,+\,1}{2}} \phantom{XXX}& \\ y\,=\,-3t\,-\,2 \phantom{X}& \\ \end{array} \right.\,$
Os vértices de um triângulo são os pontos A (-1 ; 0), B (0 ; 3) e C (2 ; 4) . Determinar os coeficientes angulares e lineares das três retas suportes dos lados.
resposta: $\,m_{AB}\,=\,3\,$ e $\,h_{AB}\,=\,3\,$; $\,m_{BC}\,=\,{\large \frac{1}{2}}\,$ e $\,h_{BC}\,=\,3\,$; $\,m_{AC}\,=\,{\large \frac{4}{3}}\,$ e $\,h_{AC}\,=\,{\large \frac{4}{3}}\,\,$;
(CESCEM) Considere o triângulo $\phantom{X} V_1\;(0\,,\,0),\;V_2\;(a\,,\,a)\;$ e $\;V_3\;(a\,,\,-a) . \phantom{X}$ A equação da reta que passa pelo vértice $\,V_3\,$ e pelo ponto médio do lado $\,V_1V_2\,$ é:
a)
$\,y\,=\,-\,\dfrac{1}{3} \centerdot x \,+\,\dfrac{29}{3}\,$
(SANTA CASA) O gráfico que melhor representa a relação $\phantom{X}|y|\,=\,x\,+\,1\,,\;\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - x\,,\,y \,\in\, \, \mathbb{R} \phantom{X}$ é:
Determinar a equação reduzida das retas que passam pelos seguintes pares de pontos: a) A (0 ; 3) e B (-1 ; 0) b) C (1 ; -2) e D (-3 ; 4) c) E (3 ; 4) e F (-4 ; -3)
resposta: a) y = 3x + 3 b) $\,y\,=\,-{\large \frac{3}{2}}x - {\large \frac{1}{2}}\,$ c) y = x + 1
(FGV) Dada a reta de equação: $\;\begin{vmatrix} x& y& 1 \\ 3& -2& 1 \\ 1& m& 1\end{vmatrix} \,=\,0\;$, determinar o valor de $\;m\;$, para que ela seja perpendicular a $\;x\,=\,5\;$
Se $\,AB\,\neq\,0\,$, então as retas $\phantom{X}Ay\,+\,Bx\,+\,C\,=\,0 \phantom{X}$ e $\phantom{X}By\,-\,Ax\,+\,D\,=\,0\phantom{X}$ são perpendiculares.
( II )
$Ax\,+\,2y\,+\,7\,=\,0 \phantom{X}$ é equação de um feixe de retas paralelas.
( III )
Se duas retas $\phantom{X}y\,=\,ax\,+\,b\;$ e $\;y\,=\,cx\,+\,d\phantom{X}$ são concorrentes na origem, então: b = d = 0 .
(CESCEM) Uma reta pela origem de coeficiente angular negativo tem somente 3 pontos em comum com o gráfico da função $\phantom{X} y\,=\,\operatorname{sen}x\phantom{X}$. A menor das 3 correspondentes abscissas:
Determine a equação da circunferência cujo centro coincide com a origem do sistema cartesiano e cujo raio mede 3 unidades.
resposta:
Resolução: A equação da circunferência de centro $\;C\,(a\,,\,b)\;$ e raio $\,R\,$ é: $\,(x\,-\,a)^2\,+\,(y\,-\,b)^2\,=\,R^2\;$. Como $\;C\,(0\,,\,0)\;$ e $\;R\,=\,3\;$, temos: $\,(x\,-\,0)^2\,+\,(y\,-\,0)^2\,=\,3^2\;\Rightarrow$ $\; \;x^2\,+\,y^2\,-\,9\,=\,0\;$
Determinar a equação da circunferência de centro C (2 , -3) e raio R = 5 unidades.
resposta:
Resolução:
A equação da circunferência de centro C (a , b) e raio R é: $\;(x\,-\,a)^2\,+\,(y\,-\,b)^2\,=\,R^2\; \;$. Como C (2 , -3) e R = 5 , temos então: $(x\,-\,2)^2\,+\,[y\,-\,(-3)]^2\,=\,(5)^2\;\Rightarrow$ $\Rightarrow\;(x\,-\,2)^2\,+\,(y\,+\,3)^1\,=\,5^2\;\;\Rightarrow$ $\Rightarrow \phantom{X}\;x^2\,+\,y^2\,-\,4x\,+\,6y\,-\,12\,=\,0\;$
Determinar o ponto no eixo 0x equidistante dos pontos A (6 , 5) e B (-2 , 3) .
resposta: Resolução: O ponto P equidistante de A e B está no eixo x , portanto sua ordenada é nula e podemos representar P (x , 0) . Da equidistãncia:
$\;\begin{array}{rcr} \text{distância}_{PA} = \text{distância}_{PB} \phantom{XXXXXX} & \\ \sqrt{(x\,-\,6)^2\,+\,(0\,-\,5)^2}\,=\,\sqrt{(x\,+\,2)^2\,+\,(0\,-\,3)^2}& \\ \end{array} $
Elevar os lados ao quadrado: $\,x^2\,-\,12x\,+\,36\,+\,15\,=\,x^2\,+\,4x\,+\,4\,+\,9\,$ desenvolvendo a equação temos $\,\boxed{x\,=\,3}\,$. Se x = 3 então P(x,0) é o ponto P(3;0) Resposta: $\;\boxed{\;(3\,;\,0)\;}$
Os vértices de um triângulo são: A (-3 , 6) ; B (9 , -10) e C (-5 , 4). Determinar o centro e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
resposta:
Considerações:
A distância entre dois pontos no plano cartesiano é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados da diferença entre as coordenadas respectivas dos pontos dados.
Vejamos o rascunho ao lado, onde o centro da circunferência é O (x , y) . Os segmentos $\,\overline{OA}\,$, $\,\overline{OB}\,$ e $\,\overline{OC}\,$ são raios da circunferência e têm medidas iguais a R .
(SANTA CASA) O triângulo ABC é tal que A é a origem do sistema de coordenadas, B e C estão no 1º quadrante e AB = BC . A reta s , que contém a altura do triângulo traçada por B , intercepta $\,\overline{AC}\,$ no ponto M . Sendo M (2 ; 1) e C (x ; y) , então x + y é igual a:
(OSEC) Se num sistema cartesiano ortogonal no plano, o ponto A (9 ; 4) é um dos vértices de um quadrado inscrito num círculo de centro C (6 ; 0) , então um outro vértice do quadrado poderia ter como coordenadas:
(USP) Dados os pontos A (1 ; -4) , B (1 ; 6) e C (5 ; 4 ) e sabendo-se que $\;AB^2\;=\;BC^2\,+\,AC^2\;$, então, a soma das coordenadas do centro da circunferência que passa pelos pontos A , B e C é:
(ITA - 1990) Considere a região do plano cartesiano x0y definida pelas desigualdades $\,x\,-\,y\,\leqslant\,1\;\mbox{, }\; x\,+\,y\,\geqslant\,1\;$ e $\;(x\,-\,1)^2\,+\,y^2\,\leqslant\,2\,$. O volume do sólido gerado pela rotação desta região em torno do eixo $\,x\,$ é igual a:
(ITA - 1990) Seja $\;C\;$ o centro da circunferência $\;x^2\,+\,y^2\,-\,6\sqrt{2}y\,=\,0\;$. Considere $\,A\,$ e $\,B\,$ os pontos de intersecção desta circunferência com a reta $\,y\,=\,\sqrt{2}x\,$. Nestas condições o perímetro do triângulo de vértices $\,A\,$, $\,B\,$ e $\,C\,$ é:
(FUVEST - 2015) A equação $\phantom{X}x^2\,+\,2x\,+\,y^2\,+\,my\,=\,n\phantom{X}$, em que $\,m\,$ e $\,n\,$ são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta $\phantom{X}y\,=\,-x\,+\,1\phantom{X}$ contém o centro da circunferência e a intersecta no ponto $\,(-3,\,4)\,$. Os valores de $\,m\,$ e $\,n\,$ são, respectivamente
(ITA - 1990) Considere a reta $\,r\,$ mediatriz do segmento cujos extremos são os pontos em que a reta $\,2x\,-3y\,+7\,=\,0\,$ intercepta os eixos coordenados. Então a distancia do ponto $\,\left(\,\dfrac{1}{4},\,\dfrac{1}{6}\right)\,$ à reta $\,r\,$ é:
(FUVEST - 1977) A reta de equação $\,3x\,-\,4y\,=\,6\,$ intercepta a circunferência $\,4x^2\,+\,4y^2\,-\,8x\,+\,16y\,=\,5\,$ nos pontos $\,A\,$ e $\,B\,$. Determine o valor de $\,\operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2}\,$, onde $\,\alpha\,$ é a medida do ângulo $\,ACB\,$ e $\,C\,$ o centro da circunferência.
(EPUSP - 1951) Dados os pontos $\;A(a;\,0)\;$ e $\;B(0;\,b)\;$, tomemos sobre a reta $\phantom{X}\overleftrightarrow{AB}\phantom{X}$ um ponto $\,C\,$ de modo que $\,\overline{BC}\,=\,m\centerdot\overline{AB}\phantom{X}$ $\;(m\,\in\,\mathbb{R}\,;\,m\,\neq\,0)\;$. Pede-se a equação da reta perpendicular a $\,\overleftrightarrow{AB}\,$, a qual passa pelo ponto médio do segmento $\,\overline{AC}\,$.
(EESC USP - 1969) Encontrar a equação da reta que é perpendicular à reta $\;x\,+\,y\,-3\,=\,0\;$ e forma com os eixos coordenados um triângulo de área 8 unidades de área, de modo que este triângulo tenha intersecção não vazia com a reta $\;x\,-\,2y\,=\,1\,$.
(MAPOFEI - 1973) O ponto P = (2; 4) é o centro de um feixe de retas no plano cartesiano. Pede-se determinar as equações das retas desse feixe, perpendiculares entre si, que interceptam o eixo 0x nos pontos A e B , e tais que a distância entre eles seja 10 .
resposta: (r) 2x - y = 0 e (s) x + 27 - 10 = 0 (r) x - 2y + 6 = 0 e (s) 2x + y - 8 = 0 ×
Dados A(4; 2), B(0; 4), C(3; 0) e P(3; 4), traçam-se por P as perpendiculares aos lados do triângulo ABC . Pede-se: a) obter os pés das perpendiculares b) provar que são colineares.
